miércoles, 24 de noviembre de 2010

Funcionamiento de una pila

Para entender el funcionamiento de una pila hay que tener claro algunos conceptos químicos.


Reacción redox: proceso en el cual existe un intercambio de electrones entre dos elementos, uno cede y otro recibe, el elemento que cede electrones se oxida, y el que los recibe se reduce.
Electrodo: conductor metálico por el que puede circular una corriente.Ánodo: electrodo que se oxida.
Cátodo: electrodo que se reduce.
Electrolito: sustancia con iones libres.

Imagínese dos cubetas separadas, la primera tiene en su interior una barra de Zinc y un medio electrolitico compuesto por ZnSO4, la segunda tiene una barra de Cobre y un medio electrolítico compuesto pot CuSO4.
 Si se une ambas cubetas mediante un hilo conductor, en la cubeta del Zn se produce una oxidación donde la barra de Zn se va disolviendo en iones con defecto de electrones (Zn 2+) que se incorpora al electrolito y por tanto producen electrones que viajan a través del hilo conductor hasta la barra de Cu, ésta al recibir los electrones se reduce y los iones Cu 2+ de la disolución se adhieren a la barra en forma de Cu.
Para mantener ambas cubetas neutras electricamente, se incorpora un puente salino, por ejemplo KCl que no permite el paso de electrolito a su través pero sí permite que a la cubeta del Zn que va cargandose positivamente se incorpore Cl- y a la cubeta del Cu que va cargandose negativamente se incorpore K+, manteniendo así siempre un equilibrio elecrico entre ambas cubetas.

Por tanto, como el Zn se oxida, este electrodo es el ánodo de la pila (polo negativo), y el cobre sería el cátodo (polo positivo). El sentido convencional de la corriente no es el del flujo electrónico si no el inverso, es decir, del cátodo al ánodo.
 
Por ser mas reductor el Zinc (serie de actividad de los metales), este tiende a oxidarse más rapidamente que el cobre y es por ello por lo que cuando la pila está aportando energía, el Zn se va a comportar como ánodo y el Cu como cátodo.

domingo, 21 de noviembre de 2010

Definición informal de integral

Se quiere calcular el área bajo una curva de una función determinada f(x), ése área va a ser una función A(x), es decir para un valor cualquiera de x se tendrá el área que encierra la función f(x).
Si se quiere calcular otro área un poco mayor, se tendrá que el área encerrada bajo la curva es A(x+h). El trozo de área que se ha aumentado por tanto sería A(x+h) - A(x). Si consideramos ése trozode área aumentado como un área muy pequeño, h debe tender a 0, y cuando éste tiende a 0, el área aumentado se convierte en el área de un rectángulo donde la base es h y la altura es f(x) por tanto se tiene un área de f(x).h es decir, f(x).h = A(x+h) - A(x) y por tanto f(x) = (A(x+h) - A(x)) / h cuando h tiende a 0, si se recuerda la definición de derivada se observa que es equivalente a la parte derecha de la ecuación por tanto se tiene que f(x) = A'(x).

Por tanto para calcular el área bajo la curva A(x) hay que hacer un proceso contrario al de derivación en ambas partes de la ecuación, y es a esto a lo que se le llama integración. Si se integra ambas partes quedaría que A(x) = integral de f(x). En notación de leibniz se tiene que f(x) = dA/dx  entonces  f(x) dx = dA y finalmente la integral de f(x)dx = A

La manera formal de relacionar la derivada con la integral la proporciona el teorema fundamental del cálculo, que más adelante se tratará.

jueves, 11 de noviembre de 2010

La derivada

Antes de entrar en su definición, se van a recordar algunos conceptos. La ecuación de una recta viene dada por la ecuación general y = ax + b, donde a representa la pendiente de la recta y b el punto donde esa recta corta con el eje de ordenadas. La pendiente de una recta tiene dos posibles interpretaciones, la primera de ellas es como proporción, y se da cuando la unidad del eje x es la misma que el eje y, la segunda interpretación se da cuando los ejes tienen unidades distintas, donde la pendiente representa un ritmo de cambio. Si por ejemplo se representa en el eje x el tiempo (t), y en el eje y el espacio(s) recorrido por un móvil, y la función que determina su posición es una recta (s(t) = at + b), la pendiente de dicha recta (a) representa como cambia su posición cuando transcurre un tiempo, que es en definitiva el ritmo de cambio de su posición respecto del tiempo, la velocidad. Si la ecuación es la siguiente s(t) = 2t + 1, como la pendiente es 2 se sabe que por cada unidad de tiempo, el móvil va a recorrer dos unidades de espacio, vemos como a mayor pendiente,  cambia más rápido una variable respecto de otra y da una idea de su tasa de cambio. El problema viene cuando se quiere calcular el ritmo de cambio de por ejemplo s(t) = 2t^2 + t -1, ésta función se representa como una parábola y gráficamente vemos que el ritmo de cambio ya no es constante en todo su dominio como el anterior ejemplo, sino que varía en cada punto. Si se representa una parábola no es difícil ver como la tangente (que es una recta) a un punto determinado de ella representa dicho ritmo de cambio. En conclusión la recta tangente a una curva (cualquiera que sea) en un punto determinado va a dar información del ritmo de cambio de esa función en ese punto determinado.

Si tenemos una curva cualquiera, haciendo uso del concepto de límite se puede calcular la pendiente de la recta tangente a esa curva en un punto determinado como sigue. Si se selecciona un punto de esa curva (x, f(x)) y otro punto separado en el eje de abcisas una cantidad h pequeña, el punto (x+h, f(x+h)), se tiene una recta que se parece a la recta tangente en ese punto, más se va a parecer a ella si h se va haciendo más pequeña, la pendiente de la recta quedaría por tanto como sigue m =  (f(x+h) - f(x)) /h, es decir si h se aproxima a 0, m se va a aproximar al valor de la pendiente de la recta tangente a esa curva en un punto x, como se vió en el artículo de límite, este concepto de aproximación se resuelve aplicando límites, decimos por tanto que la pendiente de la recta tangente m a una curva en un punto x es el límite cuando h tiende a 0 de (f(x+h) - f(x)) /h. Esto último es equivalente a calcular la derivada de la función f(x).

Se va a calcular a modo de ejemplo la pendiente de la recta tangente de la función s(t)=2t^2 + t -1, se tiene que s(t) = 2t^2+t-1 y s(t+h) = 2(t+h)^2 + (t+h)-1= 2t^2+2h^2+4th +t+h-1 entonces (s(t+h) - s(t)) = 2h^2+4th +h = h(2h+4t+1), y al final el limite cuando h tiende a 0 de h(2h+4t+1)/h = limite cuando h tiende a 0 de 2h+4t+1 = 4t + 1. La pendiente de la recta tangente es m = 4t +1, como se observa, la pendiente depende del punto elegido en el eje de abcisas, cuanto mayor sea t mayor es la pendiente, esto es lógico pues se trata de una parábola. Para simbolizar esta pendiente se utiliza un apóstrofe , si la función es s(t) = 2t^2+t-1 su derivada es s'(t)=4t +1.

Como se dijo al principio, la pendiente representa un ritmo de cambio, y si se repesenta en el eje de ordenadas el espacio(m) y en el de abcisas el tiempo(seg), este ritmo de cambio no es otro que la velocidad. Si se escoge la función s(t) = 2t^2 +t -1 y se evalua para los tiempos 1 y 2 , se tiene que la función s(t) toma respectivamente los valores 2 y 9 , es decir que en un segundo ha recorrido 7 metros, por tanto el móvil se ha desplazado a una velocidad de 7 metros por segundo como media en ese intervalo de tiempo, lo que se ha echo no es más que obtener la pendiente que pasa por esos dos puntos, con lo que la derivada va a representar en este caso la pendiente para t igual a 1 y un número muy cercano a 1, que es en definitiva la velocidad instantánea. en t= 1 la velocidad es de 4t+1 = 5 m/seg  y en t=2 la velocidad es de 9 m/seg.

La notación  más usada para representar las derivadas es la de Leibniz, en la que se utiliza el operador d/dx, es curioso ver como Leibniz, que no poseía conocimientos a cerca de la definición formal de límite y por tanto de una definición exacta de derivada, ya le dio la forma de cociente, en donde dx representaría a h cuando se aproxima a 0 y d a f(x+h) - f(x), si la función es f(x) se leería derivada de  la función f respecto de x y se notaría como df/dx, en el caso del ejemplo se leería como la derivada de la función espacio respecto del tiempo ds/dt que como vimos es equivalente a la velocidad instantánea es decir v=ds/dt

miércoles, 3 de noviembre de 2010

Definición formal de límite

El concepto actual de límite fue determinado por Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), pemitiendo con ello el establecimiento de las bases del análisis matemático actual y sustituyendo así su antigua idea basada en intuiciones geométricas.

Antes de entrar en la definición formal de límite, se va a conocer cual es su concepto, para luego ir desarrollando poco a poco su definición. Se va a considerar la siguiente función f(x) por partes.




Fijándose en la tabla de valores de la función, se puede observar como a medida que x va tomando valores más cercanos a 3, la función va tomando valores más cercanos a 5, ignorando lo que pasa en x igual a 3. Se ignora lo que ocurre en x igual a 3 ya que se quiere que el límite dé información acerca de que ocurre en las proximidades de  ese valor y no cuando toma uno determinado, para ello ya tenemos la función f(x). Si se ha entendido este concepto de aproximación se ha entendido el concepto de límite, ahora bien, necesitamos pasar de nuestro lenguaje, a un lenguaje formal entendible por todos.



Para simbolizar este concepto, los matemáticos utilizan la siguiente simbología, y se lee de forma general como sigue, "el límite cuando x tiende a a de f(x) es igual a L".
 
Figura 1.


En el ejemplo anterior se puede decir que, "cuando x se aproxima a 3, f(x) se aproxima a 5", y expresado de forma general se dice que.

"cuando x se aproxima a a f(x) se aproxima a L"

Esta última frase entrecomillada es el equivalente en nuestro lenguaje a la simbolización que se le ha dado al concepto de límite en la figura 1, es decir, ambas expresiones dicen lo mismo. Por tanto  se va a traducir la última frase entrecomillada a lenguaje matemático para así obtener la definición formal de límite.

Se va a comenzar traduciendo "x se aproxima a a", esto es equivalente a decir "la distancia entre x y a se  hace más pequeña", matemáticamente las distancias se expresan mediante diferencias, y puesto que ésta diferencia puede tomar valores positivos o negativos se hace uso del valor absoluto para asegurarnos que como, es lógico, sea positiva. Reescribiendo la frase podemos decir que "x se aproxima a a" es lo mismo que decir que  "|x - a| se hace más pequeño" y por analogía la frase"f(x) se aproxima a L" quedaría como "|f(x) - L| se hace más pequeño" con lo que nuestra frase inicial quedaría como.

"cuando |x - a| se hace más pequeño |f(x) - L| se hace más pequeño"

Al decir "|x - a| se hace más pequeño" se está comparando la distancia |x - a| con un valor, que se hace cada vez más pequeño, y que llamaremos delta. Mientras la distancia |x - a| sea menor que delta la frase sigue siendo correcta, es decir,  es equivalente a  "|x - a| < delta". De manera análoga y en vez de delta, épsilon,  tenemos que "|f(x) - L| se hace más pequeño" es equivalente a "|f(x) - L| < épsilon". 
Hay que tener en cuenta como se dijo al principio que el concepto de límite da información acerca de las proximidades de a, por tanto la distancia |x - a| nunca puede ser 0. Al final se tiene que.

"Cuando 0 < |x-a| < delta entonces |f(x) - L| < épsilon"

Delta y épsilon al ser distancias deben ser mayor que 0, y para darle el sentido de aproximación se dice que  para todo épsilon debe existir algún delta. Por fin, se tiene la definición formal de límite y queda como sigue, el límite cuando x tiende a a de f(x) existe, y es igual a L si y sólo si.

Para todo épsilon >0 existe delta > 0 tal que si cuando 0 < |x - a| < delta entonces |f(x) - L| < épsilon

Para asentar la definición se va a volver al ejemplo inicial, se puede elegir en principio el épsilon que se quiera, aunque como se dijo, es preferible que sea un número pequeño por ejemplo 0,02, entonces si encontramos un delta que cumpla la definción se habrá conseguido demostrar que existe límite y tiene valor L para ese épsilon determinado, pero hay que recordar que se tiene que cumplir para todo épsilon.

Se tiene que f(x) = 2x - 1 y L = 5 entonces, |f(x) - L| = |2x - 1 - 5|  = |2x - 6| = 2|x - 3| y esto debe ser < épsilon, es decir, 2|x - 3| < 0,02 y finalmente |x - 3| < 0,01. Por otro lado tenemos que |x - a| = |x - 3| y debe ser < delta , entoces, |x - 3| < delta. Se puede segurar por tanto que si delta es menor que o igual que 0,01 se cumple la definición y por tanto se sumple la existencia de límite para ese épsilon determinado.

Comprobación: si se le da a delta el valor 0,005 tenemos que |x-3| < 0,005 en donde un valor de x podría ser x = 3,00499 para que cumple la igualdad y queda |3,00499 - 3| = 0,00499 < 0,005 , vemos que cumple, ese mismo valor de x debe cumplir la otra igualdad, |x - 3| < 0,01 si sustituimos tenemos que |3,00499 - 3| = 0,00499 < 0,01 también se cumple, por tanto para épsilon = 0,01 tenemos un delta 0,005 que cumple la condición. Como para la existencia de límite hay que probar con todos los épsilon, se va a buscar ese delta que cumpla siempre para cualquier épsilon.


Por un lado se tiene 2|x - 3| < épsilon y por otro lado |x - 3| < delta entonces se deduce que épsilon/2 = delta,  en conclusión para todo épsilon > 0 existe al menos un delta > 0 y se puede asegurar que en el ejemplo el límite cuando x tiende a 3 de f(x) existe y es 5.

 Basándose en el ejemplo, podemos decir que el limite cuando x tiende a 3 de la función es igual a 5, pero ¿ y si decimos que es igual a 9 ? entonces la definición formal de límite no se debe cumplir. Si se le da un valor a épsilon por ejemplo de 0,01, tenemos que |2x -1 -9| = |2x - 10| < 0,01 ahora se tiene que encontrar un delta tal que |x-3| <  delta, si se le da a delta el valor de por ejemplo 0,005 se tiene que |x - 3| < 0,005  y un x posible sería 3,00499 entonces 0,00499 < 0,005 pero vemos que si sustituimos ese valor de x en la otra proposición |2. 3,00499 - 10| = 3,99002 que no es < 0,01 y por tanto ese delta escogido no es válido. Si probasemos con infinitos delta se vería que nunca se cumple la condición y por tanto se puede asegurar que el límite cuando x tiende a 3 de f(x) no es 9 como ya sabíamos.