Definición formal de límite

El concepto actual de límite fue determinado por Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), pemitiendo con ello el establecimiento de las bases del análisis matemático actual y sustituyendo así su antigua idea basada en intuiciones geométricas.

Antes de entrar en la definición formal de límite, se va a conocer cual es su concepto, para luego ir desarrollando poco a poco su definición. Se va a considerar la siguiente función f(x) por partes.

Fijándose en la tabla de valores de la función, se puede observar como a medida que x va tomando valores más cercanos a 3, la función va tomando valores más cercanos a 5, ignorando lo que pasa en x igual a 3. Se ignora lo que ocurre en x igual a 3 ya que se quiere que el límite dé información acerca de que ocurre en las proximidades de  ese valor y no cuando toma uno determinado, para ello ya tenemos la función f(x). Si se ha entendido este concepto de aproximación se ha entendido el concepto de límite, ahora bien, necesitamos pasar de nuestro lenguaje, a un lenguaje formal entendible por todos.

Para simbolizar este concepto, los matemáticos utilizan la siguiente simbología, y se lee de forma general como sigue, "el límite cuando x tiende a a de f(x) es igual a L".
 

Figura 1.

En el ejemplo anterior se puede decir que, "cuando x se aproxima a 3, f(x) se aproxima a 5", y expresado de forma general se dice que.

"cuando x se aproxima a a f(x) se aproxima a L"

Esta última frase entrecomillada es el equivalente en nuestro lenguaje a la simbolización que se le ha dado al concepto de límite en la figura 1, es decir, ambas expresiones dicen lo mismo. Por tanto  se va a traducir la última frase entrecomillada a lenguaje matemático para así obtener la definición formal de límite.

Se va a comenzar traduciendo "x se aproxima a a", esto es equivalente a decir "la distancia entre x y a se  hace más pequeña", matemáticamente las distancias se expresan mediante diferencias, y puesto que ésta diferencia puede tomar valores positivos o negativos se hace uso del valor absoluto para asegurarnos que como, es lógico, sea positiva. Reescribiendo la frase podemos decir que "x se aproxima a a" es lo mismo que decir que  "|x - a| se hace más pequeño" y por analogía la frase"f(x) se aproxima a L" quedaría como "|f(x) - L| se hace más pequeño" con lo que nuestra frase inicial quedaría como.

"cuando |x - a| se hace más pequeño |f(x) - L| se hace más pequeño"

Al decir "|x - a| se hace más pequeño" se está comparando la distancia |x - a| con un valor, que se hace cada vez más pequeño, y que llamaremos delta. Mientras la distancia |x - a| sea menor que delta la frase sigue siendo correcta, es decir,  es equivalente a  "|x - a| < delta". De manera análoga y en vez de delta, épsilon,  tenemos que "|f(x) - L| se hace más pequeño" es equivalente a "|f(x) - L| < épsilon". 

Hay que tener en cuenta como se dijo al principio que el concepto de límite da información acerca de las proximidades de a, por tanto la distancia |x - a| nunca puede ser 0. Al final se tiene que.

"Cuando 0 < |x-a| < delta entonces |f(x) - L| < épsilon"

Delta y épsilon al ser distancias deben ser mayor que 0, y para darle el sentido de aproximación se dice que  para todo épsilon debe existir algún delta. Por fin, se tiene la definición formal de límite y queda como sigue, el límite cuando x tiende a a de f(x) existe, y es igual a L si y sólo si.

Para todo épsilon >0 existe delta > 0 tal que si cuando 0 < |x - a| < delta entonces |f(x) - L| < épsilon

Para asentar la definición se va a volver al ejemplo inicial, se puede elegir en principio el épsilon que se quiera, aunque como se dijo, es preferible que sea un número pequeño por ejemplo 0,02, entonces si encontramos un delta que cumpla la definción se habrá conseguido demostrar que existe límite y tiene valor L para ese épsilon determinado, pero hay que recordar que se tiene que cumplir para todo épsilon.

Se tiene que f(x) = 2x - 1 y L = 5 entonces, |f(x) - L| = |2x - 1 - 5|  = |2x - 6| = 2|x - 3| y esto debe ser < épsilon, es decir, 2|x - 3| < 0,02 y finalmente |x - 3| < 0,01. Por otro lado tenemos que |x - a| = |x - 3| y debe ser < delta , entoces, |x - 3| < delta. Se puede segurar por tanto que si delta es menor que o igual que 0,01 se cumple la definición y por tanto se sumple la existencia de límite para ese épsilon determinado.

Comprobación: si se le da a delta el valor 0,005 tenemos que |x-3| < 0,005 en donde un valor de x podría ser x = 3,00499 para que cumple la igualdad y queda |3,00499 - 3| = 0,00499 < 0,005 , vemos que cumple, ese mismo valor de x debe cumplir la otra igualdad, |x - 3| < 0,01 si sustituimos tenemos que |3,00499 - 3| = 0,00499 < 0,01 también se cumple, por tanto para épsilon = 0,01 tenemos un delta 0,005 que cumple la condición. Como para la existencia de límite hay que probar con todos los épsilon, se va a buscar ese delta que cumpla siempre para cualquier épsilon.


Por un lado se tiene 2|x - 3| < épsilon y por otro lado |x - 3| < delta entonces se deduce que épsilon/2 = delta,  en conclusión para todo épsilon > 0 existe al menos un delta > 0 y se puede asegurar que en el ejemplo el límite cuando x tiende a 3 de f(x) existe y es 5.

 Basándose en el ejemplo, podemos decir que el limite cuando x tiende a 3 de la función es igual a 5, pero ¿ y si decimos que es igual a 9 ? entonces la definición formal de límite no se debe cumplir. Si se le da un valor a épsilon por ejemplo de 0,01, tenemos que |2x -1 -9| = |2x - 10| < 0,01 ahora se tiene que encontrar un delta tal que |x-3| <  delta, si se le da a delta el valor de por ejemplo 0,005 se tiene que |x - 3| < 0,005  y un x posible sería 3,00499 entonces 0,00499 < 0,005 pero vemos que si sustituimos ese valor de x en la otra proposición |2. 3,00499 - 10| = 3,99002 que no es < 0,01 y por tanto ese delta escogido no es válido. Si probasemos con infinitos delta se vería que nunca se cumple la condición y por tanto se puede asegurar que el límite cuando x tiende a 3 de f(x) no es 9 como ya sabíamos.