domingo, 21 de noviembre de 2010

Definición informal de integral

Se quiere calcular el área bajo una curva de una función determinada f(x), ése área va a ser una función A(x), es decir para un valor cualquiera de x se tendrá el área que encierra la función f(x).
Si se quiere calcular otro área un poco mayor, se tendrá que el área encerrada bajo la curva es A(x+h). El trozo de área que se ha aumentado por tanto sería A(x+h) - A(x). Si consideramos ése trozode área aumentado como un área muy pequeño, h debe tender a 0, y cuando éste tiende a 0, el área aumentado se convierte en el área de un rectángulo donde la base es h y la altura es f(x) por tanto se tiene un área de f(x).h es decir, f(x).h = A(x+h) - A(x) y por tanto f(x) = (A(x+h) - A(x)) / h cuando h tiende a 0, si se recuerda la definición de derivada se observa que es equivalente a la parte derecha de la ecuación por tanto se tiene que f(x) = A'(x).

Por tanto para calcular el área bajo la curva A(x) hay que hacer un proceso contrario al de derivación en ambas partes de la ecuación, y es a esto a lo que se le llama integración. Si se integra ambas partes quedaría que A(x) = integral de f(x). En notación de leibniz se tiene que f(x) = dA/dx  entonces  f(x) dx = dA y finalmente la integral de f(x)dx = A

La manera formal de relacionar la derivada con la integral la proporciona el teorema fundamental del cálculo, que más adelante se tratará.

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