La derivada

Antes de entrar en su definición, se van a recordar algunos conceptos. La ecuación de una recta viene dada por la ecuación general y = ax + b, donde a representa la pendiente de la recta y b el punto donde esa recta corta con el eje de ordenadas. La pendiente de una recta tiene dos posibles interpretaciones, la primera de ellas es como proporción, y se da cuando la unidad del eje x es la misma que el eje y, la segunda interpretación se da cuando los ejes tienen unidades distintas, donde la pendiente representa un ritmo de cambio. Si por ejemplo se representa en el eje x el tiempo (t), y en el eje y el espacio(s) recorrido por un móvil, y la función que determina su posición es una recta (s(t) = at + b), la pendiente de dicha recta (a) representa como cambia su posición cuando transcurre un tiempo, que es en definitiva el ritmo de cambio de su posición respecto del tiempo, la velocidad. Si la ecuación es la siguiente s(t) = 2t + 1, como la pendiente es 2 se sabe que por cada unidad de tiempo, el móvil va a recorrer dos unidades de espacio, vemos como a mayor pendiente,  cambia más rápido una variable respecto de otra y da una idea de su tasa de cambio. El problema viene cuando se quiere calcular el ritmo de cambio de por ejemplo s(t) = 2t^2 + t -1, ésta función se representa como una parábola y gráficamente vemos que el ritmo de cambio ya no es constante en todo su dominio como el anterior ejemplo, sino que varía en cada punto. Si se representa una parábola no es difícil ver como la tangente (que es una recta) a un punto determinado de ella representa dicho ritmo de cambio. En conclusión la recta tangente a una curva (cualquiera que sea) en un punto determinado va a dar información del ritmo de cambio de esa función en ese punto determinado.

Si tenemos una curva cualquiera, haciendo uso del concepto de límite se puede calcular la pendiente de la recta tangente a esa curva en un punto determinado como sigue. Si se selecciona un punto de esa curva (x, f(x)) y otro punto separado en el eje de abcisas una cantidad h pequeña, el punto (x+h, f(x+h)), se tiene una recta que se parece a la recta tangente en ese punto, más se va a parecer a ella si h se va haciendo más pequeña, la pendiente de la recta quedaría por tanto como sigue m =  (f(x+h) - f(x)) /h, es decir si h se aproxima a 0, m se va a aproximar al valor de la pendiente de la recta tangente a esa curva en un punto x, como se vió en el artículo de límite, este concepto de aproximación se resuelve aplicando límites, decimos por tanto que la pendiente de la recta tangente m a una curva en un punto x es el límite cuando h tiende a 0 de (f(x+h) - f(x)) /h. Esto último es equivalente a calcular la derivada de la función f(x).

Se va a calcular a modo de ejemplo la pendiente de la recta tangente de la función s(t)=2t^2 + t -1, se tiene que s(t) = 2t^2+t-1 y s(t+h) = 2(t+h)^2 + (t+h)-1= 2t^2+2h^2+4th +t+h-1 entonces (s(t+h) - s(t)) = 2h^2+4th +h = h(2h+4t+1), y al final el limite cuando h tiende a 0 de h(2h+4t+1)/h = limite cuando h tiende a 0 de 2h+4t+1 = 4t + 1. La pendiente de la recta tangente es m = 4t +1, como se observa, la pendiente depende del punto elegido en el eje de abcisas, cuanto mayor sea t mayor es la pendiente, esto es lógico pues se trata de una parábola. Para simbolizar esta pendiente se utiliza un apóstrofe , si la función es s(t) = 2t^2+t-1 su derivada es s'(t)=4t +1.

Como se dijo al principio, la pendiente representa un ritmo de cambio, y si se repesenta en el eje de ordenadas el espacio(m) y en el de abcisas el tiempo(seg), este ritmo de cambio no es otro que la velocidad. Si se escoge la función s(t) = 2t^2 +t -1 y se evalua para los tiempos 1 y 2 , se tiene que la función s(t) toma respectivamente los valores 2 y 9 , es decir que en un segundo ha recorrido 7 metros, por tanto el móvil se ha desplazado a una velocidad de 7 metros por segundo como media en ese intervalo de tiempo, lo que se ha echo no es más que obtener la pendiente que pasa por esos dos puntos, con lo que la derivada va a representar en este caso la pendiente para t igual a 1 y un número muy cercano a 1, que es en definitiva la velocidad instantánea. en t= 1 la velocidad es de 4t+1 = 5 m/seg  y en t=2 la velocidad es de 9 m/seg.

La notación  más usada para representar las derivadas es la de Leibniz, en la que se utiliza el operador d/dx, es curioso ver como Leibniz, que no poseía conocimientos a cerca de la definición formal de límite y por tanto de una definición exacta de derivada, ya le dio la forma de cociente, en donde dx representaría a h cuando se aproxima a 0 y d a f(x+h) - f(x), si la función es f(x) se leería derivada de  la función f respecto de x y se notaría como df/dx, en el caso del ejemplo se leería como la derivada de la función espacio respecto del tiempo ds/dt que como vimos es equivalente a la velocidad instantánea es decir v=ds/dt